Comenzamos haciendo algunas referencias históricas a la Geometría de Euclides. Esta geometría, más allá de la exposición deductiva que la caracteriza y de una descripción teórica de la realidad, domina todo el período comprendido entre la antigüedad y la geometría de Hilbert a fines del siglo XIX.
Como es sabido, el libro I de los Elementos comienza con una lista de definiciones, postulados y nociones comunes (Euclides, 1991). Estas primeras definiciones dadas por Euclides hacen referencia a cierta percepción de los objetos de la realidad, y su rol es exponer los fundamentos de la geometría basándose en el sentido común. Es decir, corresponden a descripciones idealizadas de objetos del mundo real, o que se puedan concebir a partir de su observación.
El uso del método de superposición de las figuras, ha dado lugar al debate alrededor del recurso de aplicación de un movimiento o de la idea de desplazamiento natural para superponer las figuras.
Estos desplazamientos que intervienen, son desplazamiento de figuras y no transformaciones que operan sobre el espacio como conjuntos de puntos.
Para Euclides no hay concepto de transformación, se limita a establecer correspondencia entre los elementos de dos figuras mediante la superposición para afirmar la igualdad de las mismas. Estas diferencias entre la geometría de la observación y la geometría de la deducción, nacida en Grecia, continuará jugando un rol importante en la historia de las matemáticas.
A fines del siglo XIX, la modernización de la geometría profundiza la necesidad de clasificación de las propiedades invariantes y de familia de transformaciones ligadas a esas propiedades.
Las ideas sobre las relaciones entre la Geometría y la teoría de grupo conducirá a Klein en el Programa de Erlangen (1872) a proponer un estudio sistemático de es as relaciones, escribiendo a una geometría como el estudio de aquellas propiedades de las figuras que permanecen invariantes bajo la acción de un grupo concreto de transformaciones. Llamaremos grupo principal de las transformaciones del espacio, al conjunto de todas estas transformaciones; las propiedades geométricas no son alteradas por las transformaciones del grupo principal.
Por lo tanto, cualquier clasificación de los grupos de transformaciones se convierte en una clasificación de las geometrías. “El programa Erlangen libera el pensamiento geométrico de toda intuición, enriquece la geometría abstracta". (Jahn, p. 48).
En resumen, una geometría es el estudio de las propiedades invariantes por un grupo operado sobre un espacio y ese grupo determina la estructura de la geometría. Así, para Klein, las transformaciones actúan sobre un espacio y no solamente sobre las figuras. “Considerar al espacio como objeto de estudio geométrico es el otro punto importante que se desprende del análisis del programa de Erlangen” (Jahn, p. 49).
BIBLIOGRAFÍA
- Moriena, S. (2006).Reseña histórica y aplicaciones de las transformaciones geométricas del plano. Revista Premisa, 31, pp. 3-10.Obtenido el 27-4-13 de http://www.soarem.org.ar/Documentos/31%20Moriena.pdf
- Jahn, A. (1998). Des transformations des figures aux transformations ponctuelles. Francia:Université Joseph Fourier
